비선형 PDE 해결을 위한 볼록 준선형화 방법

한줄 요약

비선형 PDE를 준선형화로 선형 부분 문제로 바꾸고, 선형 최소제곱으로 푸는 볼록 방법(LiL-Q)을 제안.

풀어야 하는 문제

기존 PINN은 비볼록 경사 기반 최적화로 인해 수렴이 느리고, 최적화 허용 오차에 의존하며, 많은 파라미터가 필요함.

접근 방법

Bellman-Kalaba 준선형화로 비선형 PDE를 선형 부분 문제 열로 변환하고, 각 부분 문제를 선형 파라미터 시험 공간(LiL)에서 콜로케이션하여 직접 선형 최소제곱 QR 분해로 해결. 시험 공간은 랜덤 피처 익스트림 러닝 머신, 스펙트럴 다항식 기저, 삼각함수 전개 등 선형 파라미터 표현을 사용.

결과·기여

7개 벤치마크에서 대부분 단일 자릿수 외부 반복으로 수렴, 일부 문제에서는 단일 해로 기계 정밀도 달성. Navier-Stokes 벤치마크에서 기존 PINN 대비 최대 100배 적은 파라미터로 동등 이상 성능.